Тема 1. Уравнение Клейна-Гордона.
Заменим энергию и импульс по общим принципам квантовой механики:
. Или мы получили уравнение Клейна-Гордона при отсутствии электромагнитного поля. Если поле есть, то уравнения перейдут в следующие:
Это - уравнение Клейна-Гордона в случае наличия внешнего поля. Вспомним ток в теории Шредингера. У нас было следующее выражение:
.
Уравнение непрерывности имело вид: 
.
Попытаемся сделать что-то подобное для уравнения Клейна-Гордона.
Вычтем одно уравнение из другого и получим:
Это - уравнение непрерывности в обычном виде
, где
- плотность тока, а 
- плотность заряда. Видно, что плотность заряда и плотность вероятности нельзя сделать положительной, т.е. уравнение Клейна-Гордона совсем не подходит для одночастичной теории. Поэтому возникла необходимость поиска новых уравнений, описывающих свойства микрочастиц.
Тема 2. Уравнение Дирака.
Новое уравнение требует линейности. Самый общий вид такого уравнения:
или
.
Запишем это уравнение как 
, где
.
Мы знаем, что должно выполняться соотношение:
или
Видно, что 
, 
, а выражения в скобках равны нулю:
, при 
Введем новые операторы 
и 
:
Тогда:
; 
;
В результате уравнение примет вид:
.
Это уравнение называется уравнением Дирака.
Если ввести обозначение: 
, то уравнение Дирака записывается как:
, где
.
Будем искать операторы 
и 
в виде матриц n на n:
Из антикоммутации операторов следует, например, такое выражение:
Запишем его как:
или 
.
Нам не подойдут матрицы 2 на 2, поэтому будем работать с матрицами 4 на 4. Матрицы Дирака в представлении Дирака являются эрмитовыми и записываются следующим образом:
Уравнение Дирака – система четырёх уравнений. Если 
, то оно принимает вид:
В случае наличия электромагнитного поля уравнение имеет вид:
Запишем уравнение Дирака в представлении Неймана. Для этого умножим его слева на 
:
Введём матрицы Дирака в представлении Неймана
; 
; 
; 
и сделаем преобразования:
, что упрощается как:
Если ввести 
, то получим:
- уравнение Дирака в релятивистски-инвариантном виде.
Если ввести 
; 
, то можно записать уравнение Дирака с полем через гамма-матрицы так:
, где мы подразумеваем суммирование по мю.
